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β1可由α123线性表示

第(1)问 α1,α2,α3,组成的矩阵可逆,即行列式不为0时,表示唯一.原理是:系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等时,有解 秩相等,且都小于3时,有无穷多组解 秩相等,且都是3时,有唯一解 秩不相等(此时系数矩阵行列式等于0,且系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩)时,无解

【分析】非齐次线性方程组Ax=β的解的结构ξ(非齐次线性方程组的特解)+k1α1+k2α2++ksαs(齐次线性方程组的基础解系)【解答】题目已经化好增广矩阵,1 0 3 20 1 -2 -10 0 0 00 0 0 0首先求非

由已知, 只需证 αr 可由 α1,α2,,αr-1,β 线性表示 因为 β可由α1,α2,,αr线性表示 所以 β = k1α1+k2α2++krαr线性表示 又因为 β不可由α1,α2,,αr-1线性表示 所以 kr≠0 所以 αr = (1/kr)(β - k1α1-k2α2--kr-1αr-1) 即有 αr 可由 α1,α2,,αr-1,β 线性表示 命题得证.

记 A = (a1, a2, a3) , Ax = β的增广矩阵化为图示矩阵,r(A,β ) = r(A) = 2 评论0 0 0

因为α1, α2, α3线性无关,所以α1, α2, α3非零向量.向量β不能由α1, α2, α3线性表示,所以β也是非零向量,且kβ,α1, α2, α3线性无关.所以 k1* α1 + k2* α2 +k3* α3 + kβ =0 存在唯一解:k1=k2=k3=k=0.

第一题:因为α123线性无关,所以他们的构成的向量空间充满整个三维空间,即三维空间中任意向量都可以由他们的线性组合表示.如果β123不能表示α123,则他们的线性组合不能表示空间中全部向量,即线性无关第二题:α123

用反证法,假设存在不全为0的k1,k2,,k(m+1),使 k1α1++kmαm+k(m+1)(λβ1+β2)=0,又设不全为0的h1,,hm,使β1=h1α1++hmαm,则(k1+λh1k(m+1))α1++(km+λhmk(m+1))α1+k(m+1)β2=0,因为β2不可由α1,α2,αm线性表示,所以k(m+1)=0,所以k1α1++kmαm=0且k1,k2,km不全为0,与α1,α2,,αm线性无关矛盾.

因为 β能由α1和α2线性表示设 β=k1α1+k2α2所以 |α1,α2,β| =c3 - k1c1 - k2c2= |α1,α2,0| = 0.注: 前提是 α1,α2,β 都是3维向量, 才能求行列式事实上, n个n维向量 α1,α2,,αn 线性相关 的充分必要条件是 | α1,α2,,αn | = 0.向量组 α1,α2,,αn 线性相关 的充分必要条件是 至少有一个向量可由其余向量线性表示.所以, n个n维向量 α1,α2,,αn 线性相关 ==> 至少有一个向量可由其余向量线性表示 ==> | α1,α2,,αn | = 0.满意请采纳^_^

选a.β2不能由α1,α2,α3表示,说明β2,α1,α2,α3线性无关,β1可由α1,α2,α3线性表示说明,β1 ,α1,α2,α3线性相关.由于题意是任意常数k,a选项一定正确,b错误,cd一定条件下正确(当k不=0时c正确,k=0时d正确)

问题不难,回答如下: {β1,β2}与{α1,α2,α3}可以互相线性表示表明这两个向量组是等价的.容易知道rank(β1,β2)≤2,因此rank(α1,α2,α3)≤2,所以α1,α2,α3线性相关

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