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行列式为0伴随矩阵的秩

用反证法.假设 |A*|≠0,则A*可逆.由 AA* = |A|E = 0等式两边右乘 A* 的逆矩阵得 A = 0.所以 A* = 0所以 |A*| = 0.这与假设矛盾.故 当|A|=0时,|A*|=0.

若|a|=0 假设|a*|不等于0 则a*可逆 即(a*)^-1乘以a*=e 则a=aa*(a*)^-1=|a|(a*)^-1=0 即a为0矩阵 它的伴随矩阵也是0矩阵 这与|a*|不等于0矛盾 得证

当 r(A)=n 时, r(A*)=n.当 r(A)=n-1 时, r(A*)=1.当 r(A)<n 时, r(A*)=0.因为 当 |A| = 0 时, r(A)<= n-1 所以 此时 r(A*) = 0 或 r(A*)=1 r(A*) = 0 时 A* =0 是零矩阵. r(A*) = 1 时, A* 的某一行非零, 其余行都是此行的某个倍数.满意请采纳^_^

设A是一个n阶方阵,则有下列结论:当 r(A) = n 时,r(A*) = n当 r(A) = n-1 时,r(A*) = 1当 r(A) 所以当|A|=0时,A的秩与A*的秩一般不相等(除n=2,r(A)=1情况)由于合同矩阵的秩是相同的,所以 方阵A的行列式为0时,A与A*不合同此时需要考虑n=2,r(A)=1的情况.

行列式为0的矩阵的伴随矩阵不一定是零矩阵,只有矩阵的秩小于n-1

对于一个n阶的n*n矩阵A来说,如果其行列式|A|=0,则说明矩阵的秩小于n,即非满秩矩阵 而如果|A|≠0,无论是大于还是小于0,都说明矩阵的秩就等于n.实际上行列式|A|=0,就说明矩阵A在经过若干次初等变换之后存在元素全部为0的行,所以其秩R(A) 扩展资料:相关定义:A=(aij)m*n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩,记作rA,或rankA或R(A).特别规定零矩阵的秩为零.显然rA≤min(m,n) 易得:若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r由行列式的性质1(1.5[4])知,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的.参考资料:搜狗百科- 矩阵的秩

根据伴随矩阵的元素的定义:每个元素等于原矩阵去掉该元素所在的行与列后得到的行列式的值乘以(-1)的i+j次方的代数余子式.有:1.当r(A)=n时,由于公式r(AB)<=r(A),r(AB)<=r(B),并且r(AA*)=r(I)=n,则,伴随的秩为n;2.当r(A)=n-1时,r(AA*)=|A|I=0,加上公式r(A)+r(B)<=n-r(AB),带入得到,r(A*)=1;3.当r(A)<n-1时,由上述定义得到伴随矩阵其每个元素都为零,所以秩为零.

首先如果A=O,很容易看出A*=O,自然有|A*|=0.下面假设A≠O,A不可逆可知|A|=0,由于AA*=|A|E,因此AA*=O(0矩阵).这里要用到矩阵乘积为O的一个结论:如果AB=O,则r(A)+r(B)≤n.因此r(A)+r(A*)≤n,由A≠O知r(A)≥1,因此r(A*)≤n-1,即A*不是满秩的,因此|A*|=0.

a的秩等于n-1,伴随矩阵秩等于1,所以不为0.伴随矩阵行列式为0

设a是n阶矩阵,a*是a的伴随矩阵,两者的秩的关系如下:r(a*) = n, 若r(a)=n r(a*)=1, 若r(a)=n-1;r(a*)=0,若r(a)证明如下所示:若秩r(a)=n,说明行列式|a|≠0,说明|a*|≠0,所以这时候r(a*)=n;若秩r(a)若秩r(a)=n-1,说明,行列式|a|=0,但是矩阵a中存在n-1阶子式不为0,对此有: aa*=|a|e=0 从而r(a)+r(a*)小于或等于n,也就是r(a*)小于或等于1,又因为a中存在n-1阶子式不为0,所以aij≠0,得r(a*)大于或等于1,所以最后等于1.

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